Kalkulator pochodnych wyznacza pierwszą, drugą i trzecią pochodną funkcji oraz oblicza wartość wybranej pochodnej w punkcie. Pozwala sprawdzić wynik różniczkowania, prześledzić kolejne pochodne i porównać je z funkcją na wykresie.
Obliczenia:
Pochodna:
Wartość w punkcie:
Zmienna:
Wzór pochodnej:
Spis treści
Jak działa kalkulator pochodnych?
Do obliczenia potrzebny jest wzór funkcji jednej zmiennej: x albo t. Następnie wybiera się rząd pochodnej: pierwszy, drugi lub trzeci. Opcjonalny punkt służy do obliczenia wartości liczbowej wybranej pochodnej. Pozostawienie tego pola pustego pozwala skupić się na samym wzorze.
W polu funkcji stosuje się znak * do mnożenia, / do dzielenia, ^ do potęgowania i nawiasy do grupowania działań. Przykładowy zapis to 3*x^2-4*x+1. Nazwy obsługiwanych funkcji obejmują sin, cos, tan, asin, acos, atan, exp, ln, sqrt i abs. Dostępne są również stałe pi i e. Funkcje trygonometryczne przyjmują kąty w radianach, a ln oznacza logarytm naturalny.
Wynik zawiera wzór pochodnej, wybrany rząd, zmienną oraz wartość w punkcie, jeżeli został podany. Panel „Pokaż obliczenia” przedstawia kolejne pochodne, a „Pokaż wykres” pozwala porównać funkcję z pochodną wybranego rzędu. Nie oznacza to pełnego rozwiązania każdego zadania szkolnego z uzasadnieniem wszystkich przekształceń.
Różniczkowanie odbywa się symbolicznie, natomiast wyniki liczbowe są przybliżeniami. Wzór trzeba odczytywać razem z dziedziną funkcji. Kalkulator nie obsłuży każdej pochodnej symbolicznej, a zbyt złożone obliczenie może zostać przerwane.
Sprawdzanie rachunków, nachylenia i kolejnych zmian funkcji
Obliczenie pochodnej pomaga w kilku odrębnych zadaniach:
- przy nauce różniczkowania pozwala porównać samodzielny wynik z wynikiem symbolicznym;
- przy wyznaczaniu stycznej dostarcza jej współczynnika kierunkowego w danym punkcie;
- przy badaniu przebiegu funkcji daje wzór potrzebny do samodzielnego ustalenia przedziałów wzrostu, spadku i kandydatów na ekstrema;
- przy funkcji opisującej położenie w czasie pozwala przejść do prędkości i przyspieszenia przez kolejne różniczkowanie.
Wyznaczanie przedziałów monotoniczności, klasyfikowanie ekstremów i układanie równania stycznej wymaga dalszych rachunków. Sam wzór pochodnej jest jednym z etapów rozwiązania. Wykres pomaga ocenić odpowiedź, ale odczyt przybliżonego położenia punktu nie zastępuje obliczeń.
Co mówi pochodna w punkcie, a co jej wzór?
Pochodna opisuje lokalne tempo zmiany funkcji. Jej wartość w punkcie odpowiada nachyleniu stycznej do wykresu. Dodatni wynik oznacza dodatnie nachylenie, ujemny – ujemne, a zero – poziomą styczną, jeżeli pochodna w tym punkcie istnieje.
Warto rozdzielić dwa zadania. Wyznaczenie pochodnej daje nową funkcję, z której można obliczać nachylenie w różnych punktach. Obliczenie pochodnej w punkcie daje jedną liczbę. Dopiero podstawienie konkretnego argumentu do wzoru pochodnej prowadzi do tej liczby.
Nachylenie nie jest tym samym co wysokość wykresu. Funkcja może przyjmować dużą wartość i zmieniać się bardzo wolno albo mieć wartość zero i szybko rosnąć. Jednostka pochodnej także wynika z ilorazu zmian: jednostkę wartości funkcji dzieli się przez jednostkę argumentu. Jeżeli położenie podano w metrach, a czas w sekundach, pierwsza pochodna położenia ma jednostkę metrów na sekundę. Przy abstrakcyjnej funkcji liczbowej nie dopisuje się jednostek fizycznych.
Definicja pochodnej opiera się na granicy ilorazu różnicowego:
[latex display=1]f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}[/latex]
Symbol x₀ oznacza wybrany argument, a h – zmianę argumentu. Licznik pokazuje odpowiadającą jej zmianę wartości funkcji. Granica opisuje wynik, do którego zbliża się iloraz, gdy zmiana argumentu dąży do zera. Nie podstawia się tutaj h równego zero, ponieważ powstałoby dzielenie przez zero.
W typowych zadaniach zamiast każdorazowego liczenia granicy stosuje się reguły różniczkowania. Najpierw trzeba rozpoznać budowę wyrażenia: sumę, iloczyn, iloraz albo złożenie funkcji.
Wielomian: od reguły potęgowej do równania stycznej
Wielomian można różniczkować składnik po składniku. Współczynnik liczbowy pozostaje przed pochodną, a stały składnik znika, ponieważ jego wartość nie zmienia się wraz z argumentem.
Dla dodatniego całkowitego wykładnika obowiązuje reguła potęgowa:
[latex display=1]\frac{d}{dx}x^n=n\cdot x^{n-1}[/latex]
Litera n oznacza wykładnik. Przeniesienie go przed potęgę i zmniejszenie o jeden daje pochodną danego jednomianu. Zapis d/dx oznacza różniczkowanie względem x.
Rozważmy wielomian trzeciego stopnia i jego pochodną:
[latex display=1]f(x)=x^3-3x^2+2x+5,\qquad f'(x)=3x^2-6x+2[/latex]
Pierwszy składnik daje trzykrotność kwadratu argumentu. W drugim współczynnik minus trzy mnoży się przez wykładnik dwa. Składnik liniowy daje dwa, natomiast pochodna liczby pięć wynosi zero. Stałej nie przepisuje się do wyniku.
Szukana wartość pochodnej dla argumentu dwa wynosi:
[latex display=1]f'(2)=3\cdot 2^2-6\cdot 2+2=2[/latex]
Wynik dwa jest współczynnikiem kierunkowym stycznej. Do jej równania potrzebny jest jeszcze punkt na pierwotnym wykresie. Podstawienie tego samego argumentu do funkcji daje pięć:
[latex display=1]f(2)=2^3-3\cdot 2^2+2\cdot 2+5=5,\qquad y-5=2(x-2),\qquad y=2x+1[/latex]
Litery x i y są współrzędnymi punktów prostej. Kontrola polega na podstawieniu argumentu dwa do równania stycznej: otrzymuje się pięć, więc prosta przechodzi przez właściwy punkt. Nachylenie również zgadza się z pochodną. Dalsze własności uzyskanej prostej można sprawdzić w kalkulatorze funkcji liniowej.
Styczna pozwala również oszacować zmianę funkcji blisko punktu styczności. Zwiększenie argumentu o jedną setną przy nachyleniu dwa daje przybliżony wzrost wartości o dwie setne. Przybliżona wartość wielomianu dla argumentu 2,01 wynosi więc 5,02. Dokładne podstawienie daje 5,020301. Różnica pojawia się dlatego, że wykres wielomianu zakrzywia się, a styczna pozostaje prostą. Takiego oszacowania nie przenosi się automatycznie na argumenty odległe od punktu styczności.
Funkcja złożona: dlaczego pojawia się dodatkowy czynnik?
Funkcja złożona powstaje wtedy, gdy argumentem jednej funkcji jest inne wyrażenie. W logarytmie z sumy kwadratu argumentu i jedynki funkcją zewnętrzną jest logarytm, a wewnętrzną – wyrażenie pod logarytmem.
Reguła łańcuchowa nakazuje policzyć pochodną funkcji zewnętrznej z zachowaniem jej argumentu, a następnie pomnożyć wynik przez pochodną funkcji wewnętrznej:
[latex display=1]\frac{d}{dx}F(g(x))=F'(g(x))\cdot g'(x)[/latex]
F oznacza funkcję zewnętrzną, a g – wewnętrzną. Dodatkowy czynnik uwzględnia to, że wnętrze funkcji także zmienia się wraz z x.
Dla rozważanego logarytmu obliczenie przebiega następująco:
[latex display=1]f(x)=\ln(x^2+1),\qquad f'(x)=\frac{1}{x^2+1}\cdot 2x=\frac{2x}{x^2+1}[/latex]
Pochodna logarytmu naturalnego to odwrotność jego argumentu, a pochodna wyrażenia wewnętrznego daje dwukrotność x. Pominięcie tego drugiego kroku prowadzi do błędnej odpowiedzi. Przy argumencie jeden wartość pochodnej wynosi jeden, ponieważ licznik i mianownik przyjmują wartość dwa.
Dziedziną tej funkcji są wszystkie liczby rzeczywiste: kwadrat argumentu jest nieujemny, więc po dodaniu jedynki argument logarytmu pozostaje dodatni. Można też sprawdzić wynik przez symetrię. Funkcja przyjmuje te same wartości dla przeciwnych argumentów, a nachylenia po obu stronach zera mają przeciwne znaki. Otrzymana pochodna zachowuje tę własność.
Ta sama kolejność działań obowiązuje przy potędze całego wyrażenia. Jeśli do piątej potęgi podniesiono sumę kwadratu argumentu i jedynki, najpierw różniczkuje się potęgę zewnętrzną:
[latex display=1]\frac{d}{dx}(x^2+1)^5=5(x^2+1)^4\cdot 2x=10x(x^2+1)^4[/latex]
Czynnik pięć i czwarta potęga pochodzą z reguły potęgowej, a dwukrotność x z różniczkowania wnętrza nawiasu. Nie trzeba rozwijać całej piątej potęgi, aby poprawnie wykonać rachunek. Zachowanie nawiasu zwykle skraca rozwiązanie i ułatwia jego kontrolę.
Przy funkcji wykładniczej o podstawie e pochodna funkcji zewnętrznej zachowuje jej postać. Dla złożonego wykładnika nadal potrzebny jest jednak czynnik wynikający z reguły łańcuchowej:
[latex display=1]\frac{d}{dx}e^{3x}=3e^{3x}[/latex]
Liczba e jest podstawą logarytmu naturalnego. Współczynnik trzy pochodzi z pochodnej wykładnika. Zachowanie samej funkcji wykładniczej bez tego mnożnika byłoby poprawne dla wykładnika x, ale nie dla jego trzykrotności.
Iloczyn funkcji: potęga pomnożona przez sinus
Pochodna iloczynu nie jest iloczynem pochodnych. Oba czynniki mogą zmieniać się jednocześnie, dlatego wynik zawiera dwa składniki.
Reguła ma postać:
[latex display=1](u\cdot v)’=u’\cdot v+u\cdot v'[/latex]
Symbole u i v oznaczają dwie różniczkowalne funkcje tego samego argumentu. W pierwszym składniku różniczkuje się pierwszy czynnik, w drugim – drugi.
Dla iloczynu kwadratu argumentu i sinusa potrzebne są reguła potęgowa oraz pochodna sinusa, którą jest cosinus:
[latex display=1]f(x)=x^2\sin x,\qquad f'(x)=2x\sin x+x^2\cos x[/latex]
Pierwsza część wyniku uwzględnia zmianę potęgi przy zachowaniu sinusa, druga – zmianę sinusa przy zachowaniu potęgi. Nawet jeżeli jeden składnik w konkretnym punkcie znika, nie wolno usuwać go ze wzoru ogólnego.
W punkcie pi sinus wynosi zero, a cosinus minus jeden. Stąd:
[latex display=1]f'(\pi)=2\pi\cdot 0+\pi^2\cdot(-1)=-\pi^2[/latex]
Symbol pi oznacza liczbę π, czyli połowę pełnego obrotu wyrażoną w radianach. Styczna ma w tym punkcie ujemne nachylenie. Sama funkcja ma tam wartość zero, co pokazuje różnicę między miejscem zerowym funkcji a miejscem zerowym jej pochodnej.
Przy danych podanych w stopniach przed podstawieniem potrzebna jest zamiana na radiany. Takie przeliczenie umożliwia kalkulator trygonometryczny.
Iloraz i dziedzina: skrócenie wzoru nie usuwa wykluczenia
Przy dzieleniu dwóch funkcji pochodna wymaga uwzględnienia zmian licznika i mianownika. Dla mianownika różnego od zera obowiązuje:
[latex display=1]\left(\frac{u}{v}\right)’=\frac{u’v-uv’}{v^2}[/latex]
Litera u oznacza licznik, v – mianownik. Kolejność odejmowania ma znaczenie: najpierw występuje pochodna licznika pomnożona przez mianownik. Na dole znajduje się kwadrat pierwotnego mianownika.
Dla ilorazu sumy kwadratu argumentu i jedynki przez argument otrzymuje się:
[latex display=1]f(x)=\frac{x^2+1}{x},\qquad f'(x)=\frac{2x\cdot x-(x^2+1)\cdot 1}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2}[/latex]
Warunkiem jest x różne od zera. Nawias wokół całego licznika w odejmowanym składniku zapobiega zgubieniu minusa przed jedynką. Ten sam rachunek można sprawdzić inną metodą: najpierw podzielić każdy składnik licznika przez x.
[latex display=1]f(x)=x+\frac{1}{x},\qquad f'(x)=1-\frac{1}{x^2}[/latex]
Oba wzory pochodnej są równoważne na dziedzinie funkcji. W punkcie dwa wynik wynosi trzy czwarte. Nie jest błędem, jeżeli kalkulator pokaże inną, równoważną postać wyrażenia.
Dziedzinę zawsze ustala się na podstawie funkcji wyjściowej. Skrócenie wspólnych czynników może usunąć problematyczny mianownik z zapisu, lecz nie dopisuje brakującego punktu do pierwotnej dziedziny. Dotyczy to również oceny pochodnej po uproszczeniu wzoru.
Druga i trzecia pochodna oraz badanie ekstremów
Wyższy rząd oznacza kolejne różniczkowanie wyniku, a nie podnoszenie pierwszej pochodnej do potęgi. Druga pochodna opisuje zmianę pierwszej, a trzecia – zmianę drugiej.
Dla funkcji będącej różnicą sześcianu argumentu i trzykrotności argumentu kolejne etapy wyglądają tak:
[latex display=1]f(x)=x^3-3x,\qquad f'(x)=3x^2-3,\qquad f”(x)=6x,\qquad f”'(x)=6[/latex]
Jeden apostrof oznacza pierwszy rząd, dwa – drugi, trzy – trzeci. W punkcie jeden otrzymuje się kolejno zero, sześć i sześć. Pierwsza wartość mówi o poziomej stycznej, druga pomaga ustalić rodzaj ekstremum.
Równanie pierwszej pochodnej równej zeru daje dwa argumenty: minus jeden i jeden. Samo rozwiązanie tego równania nie kończy badania. Trzeba sprawdzić zmianę znaku pochodnej:
- poniżej minus jednego pochodna jest dodatnia;
- między minus jednym a jednym jest ujemna;
- powyżej jednego ponownie jest dodatnia.
Funkcja najpierw rośnie, potem maleje, a następnie rośnie. Ma więc maksimum lokalne dla argumentu minus jeden i minimum lokalne dla argumentu jeden. Wartości funkcji w tych punktach wynoszą odpowiednio dwa i minus dwa.
Kontrolę daje druga pochodna: w pierwszym punkcie jest ujemna, a w drugim dodatnia. Jeśli druga pochodna w punkcie stacjonarnym wynosi zero, ten test nie rozstrzyga i trzeba zbadać funkcję inaczej. Gdy równanie pochodnej jest kwadratowe, w wyznaczeniu jego pierwiastków pomaga kalkulator równań kwadratowych.
W zadaniu o ruchu kolejne rzędy mają także różne jednostki. Pierwsza pochodna położenia względem czasu opisuje prędkość w metrach na sekundę, a druga przyspieszenie w metrach na sekundę do kwadratu. Ujemna prędkość wskazuje kierunek ruchu względem przyjętej osi. Ujemne przyspieszenie samo w sobie nie oznacza hamowania: o zmniejszaniu szybkości decydują przeciwne znaki prędkości i przyspieszenia.
Kiedy wynik wymaga sprawdzenia z obu stron punktu?
Najpierw sprawdza się, czy funkcja jest określona w badanym punkcie. Dla logarytmu naturalnego argument musi być dodatni, dla pierwiastka kwadratowego nieujemny, a mianownik ułamka nie może być zerem. Samo istnienie wartości funkcji jeszcze nie gwarantuje pochodnej.
Przykładem jest wartość bezwzględna argumentu. W zerze funkcja istnieje, lecz z lewej strony jej nachylenie wynosi minus jeden, a z prawej jeden. Granice ilorazu różnicowego są różne, więc pochodna w zerze nie istnieje. Wykres ma tam załamanie.
Do liczbowej kontroli w gładkim fragmencie wykresu można porównać pochodną z ilorazem zmian funkcji dla dwóch bliskich argumentów. To przybliżenie, którego wynik zależy od wybranego odstępu. Kontrola w jednym punkcie może wykryć pomyłkę, ale nie dowodzi równości dwóch wzorów na całej dziedzinie. Równoważność potwierdzają przekształcenia algebraiczne.
Najczęściej zadawane pytania o pochodne
W zadaniach trzeba odróżniać wartość funkcji, wartość pochodnej i warunki jej istnienia. Wątpliwości często wynikają też z wyboru niewłaściwej reguły różniczkowania.
Ile wynosi pochodna stałej i samego x?
Pochodna stałej wynosi zero, ponieważ stała nie zmienia wartości. Pochodna samego x wynosi jeden: przyrost funkcji jest równy przyrostowi argumentu. Przy stałym współczynniku przed x pochodną jest ten współczynnik. Ta zasada pozwala szybko sprawdzić składniki liniowe wielomianu.
Jak obliczyć pochodną pierwiastka?
Pierwiastek kwadratowy z x można zapisać jako potęgę o wykładniku jedna druga i zastosować regułę potęgową. Dla dodatnich argumentów pochodną jest odwrotność podwojonego pierwiastka z x. Przy pierwiastku z bardziej złożonego wyrażenia wynik mnoży się dodatkowo przez pochodną tego wyrażenia. W zerze pierwiastek z x nie ma skończonej pochodnej.
Czy zerowa pochodna zawsze oznacza maksimum lub minimum?
Nie. Funkcja będąca sześcianem argumentu ma w zerze poziomą styczną, lecz rośnie po obu stronach tego punktu. Nie występuje tam ekstremum. O maksimum lub minimum rozstrzyga dalsze badanie, na przykład zmiana znaku pierwszej pochodnej. Trzeba również uwzględnić ewentualne końce badanego przedziału.
Czym różni się druga pochodna od kwadratu pochodnej?
Druga pochodna powstaje przez ponowne różniczkowanie pierwszej. Kwadrat pochodnej powstaje przez pomnożenie pierwszej pochodnej przez nią samą. Są to inne operacje, zwykle dające inne wyniki. Oznaczenie z dwoma apostrofami dotyczy rzędu różniczkowania, a nie potęgowania.
W jakiej kolejności oblicza się pochodną w punkcie?
Najpierw wyznacza się wzór pochodnej, a dopiero potem podstawia argument. Podstawienie liczby do funkcji przed różniczkowaniem daje stałą i usuwa informację o zmianach funkcji. Przed oceną wyniku trzeba sprawdzić dziedzinę oraz istnienie pochodnej w wybranym punkcie.
Czy kalkulator pochodnych obsługuje zmienną t?
Tak. Wybór obejmuje x oraz t. Wzór powinien używać wybranej zmiennej; nie jest to tryb pochodnych cząstkowych funkcji wielu zmiennych. Przy funkcjach czasu interpretacja wyniku zależy od znaczenia danych: pochodna położenia względem czasu opisuje prędkość, a kolejna pochodna – przyspieszenie.
Co pokazuje panel obliczeń i wykres?
Panel obliczeń pokazuje kolejne pochodne, a wykres zestawia funkcję z pochodną wybranego rzędu. Wykres powstaje przez próbkowanie i służy jako pomoc w interpretacji. Nie wyznacza pełnej dziedziny ani wszystkich nieciągłości, dlatego istnienie pochodnej w szczególnym punkcie wymaga osobnego sprawdzenia.
Data aktualizacji:
