Kalkulator logarytmów

Logarytm odpowiada na proste pytanie: do jakiej potęgi trzeba podnieść jedną liczbę, aby otrzymać drugą. Jeżeli wiesz, że [latex]10^3 = 1000[/latex], to wiesz też, że [latex]\log_{10}(1000) = 3[/latex]. Kalkulator logarytmów liczy tę wartość dla dowolnej dodatniej podstawy różnej od 1 i pokazuje pełne podstawienie do wzoru zmiany podstawy.

Czym jest logarytm?

Logarytm to działanie odwrotne do potęgowania. Jeśli mamy liczbę [latex]b[/latex] (podstawę) i podnosimy ją do potęgi [latex]y[/latex], otrzymujemy pewien wynik [latex]x[/latex]. Logarytm z liczby [latex]x[/latex] przy podstawie [latex]b[/latex] mówi, jaka była ta potęga – czyli zwraca wykładnik [latex]y[/latex], dla którego [latex]b^y = x[/latex].

Zapisujemy to symbolem [latex]\log_b(x)[/latex] i czytamy „logarytm z [latex]x[/latex] przy podstawie [latex]b[/latex]”. Z definicji:

[latex display=1]\log_b(x) = y ;\Leftrightarrow; b^y = x[/latex]

Kilka przykładów, które dobrze obrazują tę zależność:

• [latex]\log_{10}(1000) = 3[/latex], ponieważ [latex]10^3 = 1000[/latex]
• [latex]\log_{2}(8) = 3[/latex], ponieważ [latex]2^3 = 8[/latex]
• [latex]\log_{2}(1) = 0[/latex], ponieważ [latex]2^0 = 1[/latex]
• [latex]\log_{5}(125) = 3[/latex], ponieważ [latex]5^3 = 125[/latex]

W każdym obliczaniu logarytmów pojawiają się trzy elementy: podstawa logarytmu, liczba logarytmowana i wynik logarytmu. Warto je dobrze rozumieć, ponieważ to one trafiają do pól kalkulatora.

Podstawa logarytmu

Podstawa logarytmu to liczba [latex]b[/latex], którą podnosimy do potęgi. W zapisie [latex]\log_b(x)[/latex] jest to dolny indeks. Podstawa musi być dodatnia i różna od 1 – to warunek istnienia logarytmu, do którego wrócimy w dalszej części.

W praktyce najczęściej spotykasz trzy szczególne podstawy:

• Logarytm o podstawie 10 (logarytm dziesiętny), oznaczany [latex]\log(x)[/latex] albo [latex]\lg(x)[/latex] – używany w skali pH, decybelach, magnitudzie trzęsień ziemi.
• Logarytm o podstawie e (logarytm naturalny), oznaczany [latex]\ln(x)[/latex], gdzie [latex]e \approx 2{,}71828[/latex] – występuje w obliczeniach finansowych, fizyce i statystyce.
• Logarytm o podstawie 2 (logarytm binarny), oznaczany [latex]\log_2(x)[/latex] – kluczowy w informatyce, teorii informacji i analizie złożoności algorytmów.

Liczba logarytmowana

Liczba logarytmowana to wartość [latex]x[/latex], dla której obliczamy logarytm. W zapisie [latex]\log_b(x)[/latex] stoi w nawiasie. Liczba logarytmowana musi być dodatnia – logarytm z zera ani z liczby ujemnej nie istnieje w zbiorze liczb rzeczywistych.

Wynik logarytmu

Wynik logarytmu to liczba rzeczywista [latex]y[/latex], do której trzeba podnieść podstawę, aby otrzymać liczbę logarytmowaną. Może być dodatni, ujemny albo równy zero:

• Wynik dodatni – liczba logarytmowana jest większa od 1 (przy podstawie większej od 1).
• Wynik równy zero – liczba logarytmowana wynosi 1, ponieważ [latex]b^0 = 1[/latex] dla każdej dopuszczalnej podstawy.
• Wynik ujemny – liczba logarytmowana mieści się w przedziale [latex](0, 1)[/latex], na przykład [latex]\log_{10}(0{,}01) = -2[/latex], ponieważ [latex]10^{-2} = 0{,}01[/latex].

Jak działa kalkulator logarytmów?

Logarytm kalkulator obsługuje się w dwóch krokach:

• W pierwsze pole wpisujesz podstawę logarytmu – dowolną liczbę dodatnią różną od 1 (na przykład 10, 2, 2,71828 albo 7,5).
• W drugie pole wpisujesz liczbę logarytmowaną – dowolną liczbę dodatnią (na przykład 1000, 8 albo 0,5).

Po uzupełnieniu obu pól kalkulator natychmiast pokazuje wynik logarytmu, podstawę i liczbę logarytmowaną w trzech kafelkach, a w sekcji „Pokaż wzór” wyświetla pełne podstawienie do równania zmiany podstawy. Wszystkie obliczenia wykonują się lokalnie w przeglądarce – dane nie są wysyłane na serwer.

Co kalkulator pokazuje w wyniku

Po wpisaniu obu wartości zobaczysz:

• Wynik – liczba rzeczywista będąca odpowiedzią na pytanie „do jakiej potęgi podnieść podstawę”.
• Podstawa logarytmu – wartość wpisana w pierwsze pole.
• Liczba logarytmowana – wartość wpisana w drugie pole.

Pod kafelkami znajduje się przycisk „Pokaż wzór”, który rozwija pełne podstawienie liczb do wzoru w zapisie LaTeX. Dzięki temu od razu widzisz, jak kalkulator doszedł do wyniku, i możesz zweryfikować obliczenie ręcznie albo przepisać je do zeszytu.

Wzór na logarytm i wzór zmiany podstawy

Wzór na logarytm wynika wprost z definicji – logarytm to taki wykładnik [latex]y[/latex], dla którego [latex]b^y = x[/latex]. Trudność w obliczeniach polega na tym, że kalkulatory i biblioteki programistyczne natywnie liczą zazwyczaj tylko logarytm naturalny [latex]\ln(x)[/latex] albo dziesiętny [latex]\log(x)[/latex]. Aby obliczyć logarytm o dowolnej podstawie, korzystamy ze wzoru zmiany podstawy logarytmu:

[latex display=1]W = \log_b(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(b)}[/latex]

Gdzie:

• [latex]W[/latex] – wynik logarytmu,
• [latex]b[/latex] – podstawa logarytmu (dodatnia, różna od 1),
• [latex]x[/latex] – liczba logarytmowana (dodatnia),
• [latex]\ln[/latex] – logarytm naturalny.

Wzór mówi rzecz prostą: każdy logarytm da się sprowadzić do ilorazu dwóch logarytmów naturalnych – logarytmu z liczby logarytmowanej przez logarytm z podstawy. Możesz też użyć logarytmu dziesiętnego zamiast naturalnego – wynik będzie taki sam, ponieważ stosunek się nie zmieni:

[latex display=1]\log_b(x) = \frac{\log(x)}{\log(b)}[/latex]

Kalkulator logarytmu o dowolnej podstawie korzysta dokładnie z tego wzoru – bierze logarytm naturalny z liczby logarytmowanej, dzieli przez logarytm naturalny z podstawy i pokazuje wynik.

Jak obliczyć logarytm krok po kroku

Pokażemy obliczenia na konkretnym przykładzie – logarytm o podstawie 2 z liczby 32. Logarytm krok po kroku rozkłada się na trzy etapy.

Krok 1: Sprawdź warunki istnienia logarytmu

Zanim podstawisz liczby do wzoru, upewnij się, że obliczenie ma sens. Podstawa logarytmu [latex]b = 2[/latex] – jest dodatnia i różna od 1, warunek spełniony. Liczba logarytmowana [latex]x = 32[/latex] – jest dodatnia, warunek spełniony. Możemy liczyć dalej.

Krok 2: Zastosuj wzór zmiany podstawy

Podstawiamy liczby do wzoru:

[latex display=1]\log_2(32) = \frac{\ln(32)}{\ln(2)}[/latex]

Z tablic albo z kalkulatora logarytmów odczytujemy: [latex]\ln(32) \approx 3{,}4657[/latex], a [latex]\ln(2) \approx 0{,}6931[/latex]. Po podzieleniu:

[latex display=1]\log_2(32) = \frac{3{,}4657}{0{,}6931} = 5[/latex]

Krok 3: Zweryfikuj wynik przez potęgowanie

Wynik 5 oznacza, że [latex]2^5 = 32[/latex]. Sprawdzamy: [latex]2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32[/latex]. Wszystko się zgadza.

Tę samą logikę zastosujesz do dowolnej pary podstawy i liczby logarytmowanej. Dla [latex]\log_5(625)[/latex] wynik to 4, ponieważ [latex]5^4 = 625[/latex]. Dla [latex]\log_3(81)[/latex] wynik to 4, ponieważ [latex]3^4 = 81[/latex]. Oblicz logarytm online w kalkulatorze i porównaj wynik ze swoim ręcznym obliczeniem.

Warunki istnienia logarytmu

Warunki istnienia logarytmu w zbiorze liczb rzeczywistych są dwa – dotyczą podstawy i liczby logarytmowanej.

• Podstawa logarytmu [latex]b[/latex] musi być dodatnia ([latex]b > 0[/latex]) i różna od 1 ([latex]b \neq 1[/latex]).
• Liczba logarytmowana [latex]x[/latex] musi być dodatnia ([latex]x > 0[/latex]).

Skąd te ograniczenia? Wynikają wprost z własności funkcji wykładniczej:

• Gdyby podstawa wynosiła 1, mielibyśmy [latex]1^y = 1[/latex] dla każdego [latex]y[/latex]. Logarytm z liczby różnej od 1 nie istniałby, a logarytm z 1 nie miałby jednoznacznej wartości.
• Gdyby podstawa była ujemna, niektóre potęgi (na przykład [latex]-2^{0{,}5}[/latex]) wychodziłyby poza zbiór liczb rzeczywistych.
• Funkcja wykładnicza [latex]b^y[/latex] dla [latex]b > 0[/latex] zawsze daje wartość dodatnią, dlatego logarytm z liczby ujemnej albo zera nie istnieje w liczbach rzeczywistych.

Jeżeli wpiszesz w kalkulatorze logarytmu wartości naruszające te warunki (na przykład podstawę 1 albo liczbę logarytmowaną -5), zobaczysz komunikat o braku poprawnego wyniku.

Przykłady obliczeń

Pokażemy konkretne obliczenia dla wszystkich szczególnych podstaw i kilku przypadków o dowolnej podstawie. Każdy przykład rozpisaliśmy ze wzorem i podstawieniem.

Przykład 1: Logarytm dziesiętny

Logarytm dziesiętny ma podstawę 10 i jest zapisywany [latex]\log(x)[/latex] albo [latex]\lg(x)[/latex]. Najczęściej obliczamy go dla potęg dziesiątki – wynik to po prostu liczba zer.

Ile wynosi [latex]\log_{10}(10,000)[/latex]?

[latex display=1]\log_{10}(10,000) = \frac{\ln(10,000)}{\ln(10)} = \frac{9{,}2103}{2{,}3026} = 4[/latex]

Wynik 4 oznacza, że [latex]10^4 = 10,000[/latex]. Logarytm o podstawie 10 pojawia się w skali pH (kwasowość), w decybelach (akustyka), w magnitudzie Richtera (trzęsienia ziemi) i w wielu skalach naukowych, w których wartości obejmują wiele rzędów wielkości.

Przykład 2: Logarytm naturalny

Logarytm naturalny ma podstawę [latex]e \approx 2{,}71828[/latex] i jest zapisywany [latex]\ln(x)[/latex]. Liczba [latex]e[/latex] – tak zwana stała Eulera – pojawia się naturalnie w obliczeniach związanych ze wzrostem ciągłym, procentem składanym i analizą matematyczną.

Ile wynosi [latex]\ln(e^2)[/latex]?

[latex display=1]\ln(e^2) = \frac{\ln(e^2)}{\ln(e)} = \frac{2}{1} = 2[/latex]

Logarytm naturalny z [latex]e[/latex] zawsze wynosi 1, a logarytm naturalny z [latex]e^n[/latex] wynosi [latex]n[/latex]. To bezpośrednia konsekwencja definicji – [latex]\ln[/latex] to logarytm o podstawie [latex]e[/latex], więc szukamy wykładnika, do którego podnosimy [latex]e[/latex].

W obliczeniach finansowych logarytm o podstawie e pojawia się we wzorze na czas potrzebny do podwojenia kapitału przy ciągłym oprocentowaniu: [latex]t = \frac{\ln(2)}{r}[/latex]. Dla oprocentowania 5% rocznie czas podwojenia wynosi [latex]\frac{0{,}6931}{0{,}05} \approx 13{,}86[/latex] roku. Jeżeli planujesz oszczędzanie z odsetkami składanymi i interesuje Cię konkretny wynik finansowy, przyda Ci się kalkulator zysku z lokaty.

Przykład 3: Logarytm o podstawie 2

Logarytm o podstawie 2 mówi, ile razy musimy podzielić liczbę przez 2 (albo ile bitów potrzeba do jej zakodowania). To podstawowe narzędzie informatyki i teorii informacji.

Ile wynosi [latex]\log_2(1024)[/latex]?

[latex display=1]\log_2(1024) = \frac{\ln(1024)}{\ln(2)} = \frac{6{,}9315}{0{,}6931} = 10[/latex]

Wynik 10 oznacza, że [latex]2^{10} = 1024[/latex] – dlatego 1 KiB to dokładnie 1024 bajty. Logarytm o podstawie 2 pojawia się też w analizie złożoności algorytmów: wyszukiwanie binarne w tablicy o [latex]n[/latex] elementach wykonuje [latex]\log_2(n)[/latex] porównań. Dla miliona elementów to zaledwie około 20 porównań – stąd ogromna efektywność tego podejścia.

Przykład 4: Logarytm o dowolnej podstawie

Czasem potrzebujesz logarytmu o nietypowej podstawie – na przykład 7, 12 albo 0,5. Kalkulator logarytmu o dowolnej podstawie liczy taki przypadek dokładnie tym samym wzorem zmiany podstawy.

Ile wynosi [latex]\log_7(343)[/latex]?

[latex display=1]\log_7(343) = \frac{\ln(343)}{\ln(7)} = \frac{5{,}8377}{1{,}9459} = 3[/latex]

Wynik 3, ponieważ [latex]7^3 = 343[/latex]. A ile wynosi [latex]\log_{0{,}5}(8)[/latex] (podstawa mniejsza od 1)?

[latex display=1]\log_{0{,}5}(8) = \frac{\ln(8)}{\ln(0{,}5)} = \frac{2{,}0794}{-0{,}6931} = -3[/latex]

Wynik -3, ponieważ [latex]0{,}5^{-3} = 2^3 = 8[/latex]. Przy podstawie z przedziału [latex](0, 1)[/latex] wynik dla liczby logarytmowanej większej od 1 jest ujemny – to naturalna konsekwencja wzoru.

Przykład 5: Logarytm dla liczby mniejszej od 1

Liczba logarytmowana mniejsza od 1 (ale dodatnia) daje wynik ujemny przy podstawie większej od 1. Ile wynosi [latex]\log_{10}(0{,}001)[/latex]?

[latex display=1]\log_{10}(0{,}001) = \frac{\ln(0{,}001)}{\ln(10)} = \frac{-6{,}9078}{2{,}3026} = -3[/latex]

Wynik -3 oznacza, że [latex]10^{-3} = 0{,}001[/latex]. Logarytmy z liczb mniejszych od 1 pojawiają się w skali pH (gdzie pH = -log stężenia jonów wodorowych), przy obliczaniu rozcieńczeń i w analizach prawdopodobieństwa.

Zastosowania logarytmów w praktyce

Logarytmy nie są tylko ćwiczeniem szkolnym – pojawiają się w wielu dziedzinach życia i nauki:

• Skale pomiarowe – skala pH (kwasowość roztworu), skala decybeli (głośność dźwięku), skala Richtera (siła trzęsienia ziemi) i magnitudo gwiazdowe (jasność obiektów astronomicznych) bazują na logarytmach. Każdy „stopień” w tych skalach to dziesięciokrotna zmiana wielkości fizycznej.
• Finanse – obliczanie czasu potrzebnego do osiągnięcia konkretnej kwoty przy oprocentowaniu, analiza wzrostu wykładniczego inwestycji, rozkład rat kredytu.
• Informatyka – złożoność obliczeniowa algorytmów (wyszukiwanie binarne, sortowanie przez scalanie), wielkości pamięci wyrażane w bitach, kompresja danych.
• Statystyka i nauki przyrodnicze – rozkład logarytmiczno-normalny, regresja logarytmiczna, analiza danych obejmujących wiele rzędów wielkości.
• Chemia i biologia – kinetyka reakcji, prawo Lamberta-Beera, modelowanie wzrostu populacji.
• Akustyka i optyka – zależność postrzeganej głośności i jasności od bodźca fizycznego (prawo Webera-Fechnera).

W szkole logarytmy poznajesz w kontekście równań wykładniczych – rozwiązywanie [latex]2^x = 64[/latex] sprowadza się do obliczenia [latex]x = \log_2(64) = 6[/latex]. Jeżeli pracujesz z innymi typami równań matematycznych, przyda Ci się kalkulator równania liniowego albo kalkulator potęgi – oba uzupełniają zestaw narzędzi do działań na liczbach.

Własności logarytmów, które warto znać

Logarytmy mają kilka własności, które przydają się przy upraszczaniu wyrażeń. Wynikają one wprost z definicji i z własności potęgowania:

• Logarytm iloczynu – [latex]\log_b(x \cdot y) = \log_b(x) + \log_b(y)[/latex]. Logarytm iloczynu to suma logarytmów.
• Logarytm ilorazu – [latex]\log_b\left(\frac{x}{y}\right) = \log_b(x) – \log_b(y)[/latex]. Logarytm ilorazu to różnica logarytmów.
• Logarytm potęgi – [latex]\log_b(x^n) = n \cdot \log_b(x)[/latex]. Wykładnik wychodzi przed logarytm jako mnożnik.
• Logarytm z 1 – [latex]\log_b(1) = 0[/latex] dla każdej dopuszczalnej podstawy, ponieważ [latex]b^0 = 1[/latex].
• Logarytm z podstawy – [latex]\log_b(b) = 1[/latex], ponieważ [latex]b^1 = b[/latex].

Te własności pozwalają zamienić skomplikowane mnożenie na prostsze dodawanie – to właśnie one stały u podstaw wynalezienia logarytmów w XVII wieku jako narzędzia do przyspieszania rachunków astronomicznych.

Założenia obliczeń i ograniczenia

Logarytm kalkulator jest narzędziem matematycznym, ale warto znać szczegóły jego działania:

• Kalkulator korzysta ze wzoru zmiany podstawy [latex]\log_b(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(b)}[/latex] i bazuje na funkcji Math.log z biblioteki standardowej JavaScript.
• Podstawa logarytmu musi być dodatnia i różna od 1. Dla podstawy ujemnej, równej zero albo równej 1 kalkulator pokazuje komunikat o braku poprawnego wyniku.
• Liczba logarytmowana musi być dodatnia. Logarytm z zera ani z liczby ujemnej nie istnieje w zbiorze liczb rzeczywistych.
• Separator dziesiętny to przecinek (na przykład 2,71828), zgodnie z polską notacją. Kalkulator akceptuje również zapis z kropką.
• Wynik podawany jest jako liczba rzeczywista z dokładnością do sześciu miejsc znaczących. Dla bardzo małych albo bardzo dużych wartości używany jest zapis wykładniczy.
• Charakter matematyczny – kalkulator wykonuje czyste obliczenie matematyczne i nie analizuje kontekstu zastosowania (nie zaokrągla wyniku do liczb całkowitych ani nie dopasowuje go do konkretnej skali).

Najczęściej zadawane pytania

Zebraliśmy odpowiedzi na pytania, które najczęściej pojawiają się przy korzystaniu z kalkulatora logarytmów.

Co to jest logarytm?

Logarytm z liczby [latex]x[/latex] przy podstawie [latex]b[/latex] to taka liczba [latex]y[/latex], dla której [latex]b^y = x[/latex]. Innymi słowy, logarytm odpowiada na pytanie „do jakiej potęgi trzeba podnieść podstawę [latex]b[/latex], aby otrzymać liczbę [latex]x[/latex]”. Dla [latex]\log_{10}(1000)[/latex] odpowiedź wynosi 3, ponieważ [latex]10^3 = 1000[/latex].

Jak obliczyć logarytm?

Najszybciej za pomocą kalkulatora logarytmu, który korzysta ze wzoru zmiany podstawy [latex]\log_b(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(b)}[/latex]. Ręcznie obliczasz logarytm naturalny z liczby logarytmowanej, dzielisz przez logarytm naturalny z podstawy i otrzymujesz wynik. Dla typowych podstaw (10, 2, [latex]e[/latex]) wartości można odczytać z tablic matematycznych.

Jak obliczyć logarytm o dowolnej podstawie?

Skorzystaj ze wzoru zmiany podstawy: [latex]\log_b(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(b)}[/latex]. Wzór działa dla każdej dopuszczalnej podstawy – zarówno typowych (10, 2, [latex]e[/latex]), jak i nietypowych (3, 7, 12, 0,5). Kalkulator logarytmu o dowolnej podstawie liczy go automatycznie po wpisaniu obu wartości.

Czym jest podstawa logarytmu?

Podstawa logarytmu to liczba [latex]b[/latex] w zapisie [latex]\log_b(x)[/latex] – ta, którą podnosimy do potęgi. Podstawa musi być dodatnia i różna od 1. Najczęściej używane podstawy to 10 (logarytm dziesiętny), [latex]e[/latex] (logarytm naturalny) i 2 (logarytm binarny).

Czym jest liczba logarytmowana?

Liczba logarytmowana to wartość [latex]x[/latex] w zapisie [latex]\log_b(x)[/latex] – ta, której logarytm chcemy obliczyć. Stoi w nawiasie i musi być dodatnia. Logarytm z zera ani z liczby ujemnej nie istnieje w zbiorze liczb rzeczywistych.

Co oznacza wynik logarytmu?

Wynik logarytmu to liczba, do której trzeba podnieść podstawę, aby otrzymać liczbę logarytmowaną. Jeśli [latex]\log_2(8) = 3[/latex], to znaczy, że [latex]2^3 = 8[/latex]. Wynik może być dodatni, ujemny albo równy zero w zależności od relacji między liczbą logarytmowaną a 1.

Jakie są warunki istnienia logarytmu?

Aby logarytm istniał w zbiorze liczb rzeczywistych, muszą być spełnione dwa warunki: podstawa logarytmu jest dodatnia i różna od 1 ([latex]b > 0, b \neq 1[/latex]), a liczba logarytmowana jest dodatnia ([latex]x > 0[/latex]). Naruszenie któregokolwiek z tych warunków sprawia, że logarytm nie ma poprawnej wartości.

Czym różni się logarytm naturalny od dziesiętnego?

Różnią się podstawą. Logarytm dziesiętny ma podstawę 10 i pojawia się w skalach pomiarowych (pH, decybele, magnituda). Logarytm naturalny ma podstawę [latex]e \approx 2{,}71828[/latex] i występuje naturalnie w analizie matematycznej, finansach i fizyce. Wartości można przeliczać między sobą wzorem [latex]\ln(x) = \log(x) \cdot \ln(10) \approx 2{,}3026 \cdot \log(x)[/latex].

Co to jest logarytm o podstawie 2?

Logarytm o podstawie 2 (zwany też logarytmem binarnym) odpowiada na pytanie, do jakiej potęgi podnieść 2, aby otrzymać daną liczbę. Pojawia się w informatyce – mówi, ile bitów potrzeba do zakodowania liczby albo ile porównań wykona algorytm wyszukiwania binarnego. [latex]\log_2(1024) = 10[/latex], ponieważ [latex]2^{10} = 1024[/latex].

Czy kalkulator obsługuje podstawę mniejszą od 1?

Tak. Podstawa może być dowolną liczbą dodatnią różną od 1, w tym z przedziału [latex](0, 1)[/latex] – na przykład 0,5 albo 0,1. Dla podstawy mniejszej od 1 wynik logarytmu z liczby większej od 1 jest ujemny, a z liczby mniejszej od 1 – dodatni. To naturalna konsekwencja wzoru zmiany podstawy.

Dlaczego logarytm z liczby ujemnej nie istnieje?

Funkcja wykładnicza [latex]b^y[/latex] dla dodatniej podstawy [latex]b[/latex] zawsze daje wartość dodatnią – niezależnie od wykładnika [latex]y[/latex]. Skoro [latex]b^y[/latex] nigdy nie jest ujemne, to nie istnieje takie [latex]y[/latex], dla którego [latex]b^y[/latex] byłoby liczbą ujemną – a właśnie takie [latex]y[/latex] byłoby logarytmem z liczby ujemnej. W zbiorze liczb zespolonych logarytm z liczby ujemnej istnieje, ale to wykracza poza zakres tego kalkulatora.

Data aktualizacji: 29 kwietnia 2026