Silnia to jedno z najprostszych, a zarazem najszybciej rosnących działań w matematyce. Wystarczy pomnożyć przez siebie kolejne liczby naturalne od 1 do [latex]n[/latex], a wynik potrafi w kilka kroków przekroczyć miliony, miliardy i znacznie więcej. Kalkulator silni liczy tę wartość dokładnie dla nieujemnych liczb całkowitych w zakresie od 0 do 500 i pokazuje pełne podstawienie do wzoru.
Liczba [n]: Oblicz wynik...
Wynik: Oblicz wynik...
Liczba cyfr: Oblicz wynik...
Wynik dokładny: Oblicz wynik...
Spis treści
Czym jest silnia?
Silnia liczby całkowitej nieujemnej [latex]n[/latex] to iloczyn wszystkich kolejnych liczb naturalnych od 1 do [latex]n[/latex]. Zapisujemy ją symbolem [latex]n![/latex] i czytamy „[latex]n[/latex] silnia”. Dla [latex]n = 4[/latex] mamy [latex]4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24[/latex], dla [latex]n = 5[/latex] mamy [latex]5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120[/latex].
Definicja jest krótka i opiera się na trzech regułach:
- Reguła ogólna – dla [latex]n \geq 1[/latex] silnia to iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do [latex]n[/latex].
- Reguła rekurencyjna – silnia spełnia zależność [latex]n! = n \cdot (n-1)![/latex], czyli silnię z [latex]n[/latex] dostajemy, mnożąc silnię z [latex]n-1[/latex] przez [latex]n[/latex].
- Wartość początkowa – z definicji [latex]0! = 1[/latex], co pozwala konsekwentnie stosować regułę rekurencyjną dla każdej liczby naturalnej.
W zapisie matematycznym wzór na silnię wygląda tak:
[latex display=1]n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n[/latex]
albo równoważnie z notacją iloczynu:
[latex display=1]n! = \prod_{k=1}^{n} k[/latex]
Silnia jest zdefiniowana wyłącznie dla liczb całkowitych nieujemnych. Dla liczb ujemnych i wartości niecałkowitych klasyczna silnia nie istnieje – rozszerzeniem na zbiór liczb rzeczywistych i zespolonych zajmuje się funkcja gamma, ale to temat wykraczający poza zakres tego kalkulatora.
Co oznacza zapis [latex]n![/latex]
Zapis [latex]n![/latex] to skrócona forma iloczynu kolejnych liczb naturalnych. Wykrzyknik nie ma tu żadnego znaczenia emocjonalnego ani logicznego – to czysto matematyczny symbol wprowadzony w 1808 roku przez francuskiego matematyka Christiana Krampa. Ten skrót okazał się tak wygodny, że szybko zastąpił dłuższe zapisy stosowane wcześniej i obowiązuje do dziś.
W zapisie [latex]n![/latex] symbol [latex]n[/latex] oznacza dowolną nieujemną liczbę całkowitą. W kalkulatorze podajesz konkretną wartość [latex]n[/latex], a narzędzie liczy odpowiadającą jej silnię.
Jak działa kalkulator silni?
Silnia kalkulator obsługuje się jednym ruchem – wpisujesz w pole Liczba [n] dowolną nieujemną liczbę całkowitą z zakresu od 0 do 500. Po wpisaniu wartości narzędzie natychmiast pokazuje wynik silni, liczbę cyfr wyniku oraz dokładną postać iloczynu, a w sekcji „Pokaż wzór” wyświetla pełne podstawienie do równania. Wszystkie obliczenia wykonują się lokalnie w przeglądarce – dane nie są wysyłane na serwer.
Co kalkulator pokazuje w wyniku
Po wpisaniu liczby [latex]n[/latex] zobaczysz cztery elementy:
- Wynik – wartość silni [latex]n![/latex]. Dla małych liczb prezentowany w pełnej, dokładnej postaci. Dla większych wartości karta główna pokazuje czytelne przybliżenie w postaci potęgi dziesięciu (na przykład [latex]\approx 9{,}33 \cdot 10^{157}[/latex] dla [latex]100![/latex]), a pełna wartość zostaje wyświetlona poniżej.
- Liczba [n] – wartość, którą wpisałeś w pole.
- Liczba cyfr – długość wyniku w zapisie dziesiętnym, czyli ile cyfr ma silnia [latex]n![/latex]. Dla [latex]10![/latex] to 7 cyfr, dla [latex]100![/latex] to już 158 cyfr.
- Wynik dokładny – pełna, niezaokrąglona wartość silni jako jeden ciąg cyfr. To pole pokazuje silnia wynik dokładny nawet wtedy, gdy karta główna wyświetla skrócone przybliżenie.
Pod kafelkami znajduje się przycisk „Pokaż wzór”, który rozwija pełne podstawienie liczb w zapisie LaTeX. Dzięki temu od razu widzisz, jak kalkulator doszedł do wyniku, i możesz przepisać obliczenie do zeszytu albo zweryfikować je ręcznie.
Jak obliczyć silnię krok po kroku
Obliczanie silni sprowadza się do mnożenia kolejnych liczb naturalnych. Pokażemy procedurę na trzech przykładach o rosnącej trudności – od [latex]4![/latex] przez [latex]5![/latex] do [latex]10![/latex].
Przykład 1: jak obliczyć [latex]4![/latex]
Zaczynamy od mnożenia kolejnych liczb naturalnych od 1 do 4:
[latex display=1]4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4[/latex]
Wykonujemy mnożenia po kolei: [latex]1 \cdot 2 = 2[/latex], potem [latex]2 \cdot 3 = 6[/latex], na koniec [latex]6 \cdot 4 = 24[/latex]. Wynik:
[latex display=1]4! = 24[/latex]
Przykład 2: jak obliczyć [latex]5![/latex]
Korzystamy z reguły rekurencyjnej – skoro znamy już [latex]4! = 24[/latex], to [latex]5! = 5 \cdot 4! = 5 \cdot 24 = 120[/latex]. Możemy też wymnożyć od początku:
[latex display=1]5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120[/latex]
Oba sposoby dają tę samą wartość. Reguła rekurencyjna [latex]n! = n \cdot (n-1)![/latex] jest bardzo wygodna w praktyce – jeśli liczysz silnię w tablicy albo w pamięci, wystarczy pamiętać poprzedni wynik i pomnożyć go przez kolejną liczbę.
Przykład 3: jak obliczyć [latex]10![/latex]
Dla większych liczb najszybsze jest mnożenie krok po kroku z zachowaniem wyniku pośredniego:
- [latex]1! = 1[/latex]
- [latex]2! = 2 \cdot 1 = 2[/latex]
- [latex]3! = 3 \cdot 2 = 6[/latex]
- [latex]4! = 4 \cdot 6 = 24[/latex]
- [latex]5! = 5 \cdot 24 = 120[/latex]
- [latex]6! = 6 \cdot 120 = 720[/latex]
- [latex]7! = 7 \cdot 720 = 5,040[/latex]
- [latex]8! = 8 \cdot 5,040 = 40,320[/latex]
- [latex]9! = 9 \cdot 40,320 = 362,880[/latex]
- [latex]10! = 10 \cdot 362,880 = 3,628,800[/latex]
W dziesięciu krokach przeszliśmy od jedynki do ponad trzech milionów – to dobrze pokazuje, jak silnia rośnie wraz z [latex]n[/latex]. Ile wynosi silnia z 10? Dokładnie 3 628 800. Dla pewności sprawdź wynik w kalkulatorze n silnia powyżej.
Dlaczego [latex]0! = 1[/latex] i [latex]1! = 1[/latex]
Te dwa przypadki brzmią na pierwszy rzut oka kontrowersyjnie – jak iloczyn „pustego zbioru” liczb może dać 1? Wyjaśnienie ma trzy uzasadnienia, które prowadzą do tej samej wartości.
Reguła rekurencyjna. Gdyby [latex]0! \neq 1[/latex], reguła [latex]n! = n \cdot (n-1)![/latex] przestałaby działać. Dla [latex]n = 1[/latex] mamy [latex]1! = 1 \cdot 0![/latex], a skoro [latex]1! = 1[/latex], to [latex]0![/latex] musi wynosić 1, żeby zachować spójność.
Iloczyn pusty. W matematyce iloczyn zera czynników (czyli iloczyn pusty) z definicji wynosi 1 – tak samo jak suma zera składników wynosi 0. Wartość 1 to element neutralny mnożenia, więc dodanie albo usunięcie pustego iloczynu niczego nie zmienia. [latex]0![/latex] jako iloczyn zera liczb naturalnych przyjmuje więc wartość 1.
Argument kombinatoryczny. Silnia liczy liczbę permutacji zbioru [latex]n[/latex] elementów – czyli na ile sposobów można ustawić [latex]n[/latex] elementów w rzędzie. Zbiór pusty można ustawić w rzędzie dokładnie na jeden sposób (jako pusty rząd), więc [latex]0! = 1[/latex]. Zbiór jednoelementowy też ma tylko jeden możliwy układ, więc [latex]1! = 1[/latex].
Wszystkie trzy argumenty zgadzają się – i właśnie dlatego konwencja [latex]0! = 1[/latex] jest powszechnie przyjęta w matematyce, statystyce i informatyce.
Zastosowania silni w matematyce
Silnia pojawia się wszędzie tam, gdzie liczymy liczbę możliwych ustawień, wyborów albo rozkładów. To podstawowe narzędzie kombinatoryki, rachunku prawdopodobieństwa i analizy matematycznej.
Permutacje
Permutacja to dowolny układ wszystkich elementów zbioru w określonej kolejności. Liczba permutacji zbioru [latex]n[/latex]-elementowego wynosi dokładnie [latex]n![/latex]:
[latex display=1]P_n = n![/latex]
Przykład: na ile sposobów można ustawić w rzędzie 5 osób na zdjęciu? Odpowiedź to [latex]5! = 120[/latex] sposobów. Pierwszą osobę wybierasz spośród 5, drugą spośród pozostałych 4, trzecią spośród 3 i tak dalej – mnożenie tych liczb to dokładnie definicja silni.
Wariacje bez powtórzeń
Wariacja [latex]k[/latex]-elementowa bez powtórzeń ze zbioru [latex]n[/latex]-elementowego to uporządkowany wybór [latex]k[/latex] różnych elementów. Liczba takich wariacji wynosi:
[latex display=1]V_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}[/latex]
Przykład: na podium mistrzostw startuje 8 zawodników i wybieramy spośród nich miejsca 1, 2 i 3. Liczba możliwych podiów to [latex]\frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336[/latex]. Silnia w mianowniku „skraca” te liczby z licznika, których nie potrzebujemy.
Kombinacje
Kombinacja [latex]k[/latex]-elementowa ze zbioru [latex]n[/latex]-elementowego to nieuporządkowany wybór [latex]k[/latex] różnych elementów. Liczbę kombinacji oznaczamy symbolem Newtona [latex]\binom{n}{k}[/latex] i liczymy wzorem:
[latex display=1]\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}[/latex]
Przykład: w grze Lotto losujemy 6 liczb spośród 49. Liczba możliwych kuponów to [latex]\binom{49}{6} = \frac{49!}{6! \cdot 43!} = 13,983,816[/latex]. Stąd właśnie wynika, że szansa na trafienie szóstki wynosi około 1 do 14 milionów. Jeśli interesuje cię konkretne obliczenie szans w polskich grach liczbowych, przyda ci się kalkulator Lotto.
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka
W rachunku prawdopodobieństwa silnia pojawia się w rozkładach dyskretnych – na przykład w rozkładzie dwumianowym, Poissona i hipergeometrycznym. Wzór na rozkład dwumianowy zawiera symbol Newtona, a ten z kolei silnie. Silnia służy też do liczenia liczby układów losowych, na przykład liczby możliwych potasowań talii kart – dla 52 kart to [latex]52! \approx 8{,}07 \cdot 10^{67}[/latex] układów.
Szeregi i analiza matematyczna
W analizie matematycznej silnia pojawia się w rozwinięciach Taylora funkcji. Funkcja wykładnicza [latex]e^x[/latex] ma rozwinięcie:
[latex display=1]e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \ldots[/latex]
Silnia w mianowniku każdego wyrazu sprawia, że szereg jest zbieżny dla każdego [latex]x[/latex]. Podobnie wyglądają rozwinięcia funkcji [latex]\sin(x)[/latex], [latex]\cos(x)[/latex] i wielu innych.
Inne zastosowania
Silnia pojawia się w wielu dziedzinach poza klasyczną kombinatoryką:
- Algorytmika – liczba przypadków w algorytmach przeglądania pełnego (na przykład w problemie komiwojażera) rośnie jak silnia. Dla 10 miast jest [latex]10! = 3,628,800[/latex] możliwych tras.
- Chemia i fizyka – silnia występuje we wzorach na liczbę mikrostanów w mechanice statystycznej i w obliczaniu liczby możliwych konformacji cząsteczek.
- Teoria liczb – silnie pojawiają się w wielu tożsamościach kombinatorycznych, w twierdzeniu Wilsona i w analizie liczb pierwszych.
- Programowanie – obliczanie silni jest klasycznym przykładem rekurencji i pętli iteracyjnej w kursach informatyki.
Silnia jest też naturalnym uzupełnieniem działań na potęgach – jeśli interesuje cię szybkie liczenie [latex]a^n[/latex] dla różnych podstaw i wykładników, sprawdź kalkulator potęgi.
Dlaczego silnia rośnie tak szybko
Wartości silni rosną szybciej niż jakakolwiek funkcja wykładnicza [latex]a^n[/latex] dla stałej podstawy [latex]a[/latex]. To jedna z najszybciej rosnących funkcji, z którymi się spotykasz w klasycznej matematyce.
Porównanie tempa wzrostu
Spójrz na kilka wartości silni i porównaj je z potęgą dwójki o tym samym wykładniku:
- [latex]5! = 120[/latex], a [latex]2^5 = 32[/latex]
- [latex]10! = 3,628,800[/latex], a [latex]2^{10} = 1,024[/latex]
- [latex]20! = 2,432,902,008,176,640,000[/latex], a [latex]2^{20} = 1,048,576[/latex]
- [latex]50![/latex] ma 65 cyfr, a [latex]2^{50}[/latex] zaledwie 16 cyfr
- [latex]100![/latex] ma 158 cyfr, a [latex]2^{100}[/latex] tylko 31 cyfr
Dla [latex]100![/latex] dokładny wynik to liczba zaczynająca się od 9332… i kończąca aż 24 zerami – cała ma 158 cyfr w zapisie dziesiętnym. Silnia z 500 (maksymalna wartość obsługiwana przez kalkulator) ma już 1 135 cyfr.
Wzór Stirlinga – przybliżenie silni
Dla bardzo dużych [latex]n[/latex] przydaje się wzór Stirlinga, który pokazuje, jak szybko rośnie silnia:
[latex display=1]n! \approx \sqrt{2\pi n} \cdot \left(\frac{n}{e}\right)^n[/latex]
Wzór mówi, że silnia z [latex]n[/latex] zachowuje się asymptotycznie jak latex^n[/latex] pomnożone przez pierwiastkowy czynnik korekcyjny. Dla [latex]n = 100[/latex] przybliżenie Stirlinga daje wartość różniącą się od dokładnego wyniku o około 0,08 procent – to bardzo dokładne oszacowanie. Wzór ten jest podstawą wielu obliczeń w fizyce statystycznej, teorii informacji i analizie algorytmów.
Wynik dokładny i wynik przybliżony
Ze względu na bardzo szybki wzrost silni, dla większych wartości [latex]n[/latex] kalkulator pokazuje silnia wynik przybliżony w postaci potęgi dziesięciu. To rozwiązanie czytelnie prezentuje rząd wielkości, a jednocześnie nie ukrywa pełnej wartości – silnia wynik dokładny zachowuje wszystkie cyfry wyniku.
Czym różnią się oba zapisy
Dla [latex]n \leq 17[/latex] wynik silni mieści się w 18 cyfrach i jest pokazywany w pełnej, dokładnej postaci – na przykład [latex]15! = 1,307,674,368,000[/latex] (13 cyfr).
Dla większych wartości karta główna prezentuje wynik przybliżony w notacji wykładniczej – na przykład [latex]20! \approx 2{,}4329 \cdot 10^{18}[/latex]. Ten zapis natychmiast mówi, że wynik ma rząd wielkości [latex]10^{18}[/latex] i zaczyna się od cyfr 2,4329. Wynik dokładny to ten sam co w przybliżeniu, ale z wszystkimi cyframi – dla [latex]20![/latex] jest to [latex]2,432,902,008,176,640,000[/latex].
Jak interpretować bardzo duże wartości
Liczba cyfr wyniku to wygodna miara wielkości silni. Pole „Liczba cyfr” w kalkulatorze pokazuje dokładnie tę wartość – dla [latex]50![/latex] wynosi 65, dla [latex]100![/latex] to 158, dla [latex]500![/latex] to już 1 135. Można ją powiązać z rzędem wielkości – wynik o [latex]k[/latex] cyfrach jest liczbą rzędu [latex]10^{k-1}[/latex].
W praktyce ważne są dwa wnioski:
- Silnie szybko przekraczają możliwości typowych formatów liczbowych. Standardowy 64-bitowy typ całkowity mieści wartości do około [latex]9{,}2 \cdot 10^{18}[/latex], czyli przekracza ten limit już dla [latex]21![/latex]. Kalkulator obsługuje silnię od 0 do 500 dzięki arytmetyce dużych liczb (BigInt).
- W obliczeniach pośrednich opłaca się skracać. Jeśli liczysz [latex]\binom{49}{6}[/latex], nie musisz najpierw obliczać [latex]49![/latex] (62 cyfry), tylko skrócić wzór do [latex]\frac{49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44}{6!}[/latex] – to ten sam wynik, ale obliczenie jest krótsze i bezpieczniejsze numerycznie.
Założenia obliczeń i ograniczenia
Kalkulator n! wykonuje proste, deterministyczne obliczenie matematyczne, ale warto znać szczegóły jego działania:
- Kalkulator liczy silnię z liczby w zakresie nieujemnych liczb całkowitych od 0 do 500. Dla [latex]n > 500[/latex] wyniki przekraczają 1 135 cyfr i przestają być praktycznie czytelne, dlatego górna granica została ustawiona na 500.
- Z definicji [latex]0! = 1[/latex] – kalkulator zwraca tę wartość bez ostrzeżenia.
- Liczby ujemne i wartości niecałkowite (na przykład [latex]2{,}5[/latex] albo [latex]-3[/latex]) nie są obsługiwane – dla takich danych kalkulator pokazuje komunikat o błędnych danych.
- Obliczenia korzystają z arytmetyki dużych liczb (BigInt) wbudowanej w przeglądarkę, dlatego silnia liczby całkowitej jest liczona dokładnie – bez utraty precyzji – dla całego zakresu od 0 do 500.
- Separator dziesiętny w polu wpisu nie ma znaczenia – kalkulator akceptuje wyłącznie nieujemne liczby całkowite. Dla [latex]n = 4{,}5[/latex] zobaczysz komunikat o błędzie.
- Wszystkie obliczenia wykonują się lokalnie w przeglądarce – dane nie są wysyłane na serwer.
Najczęściej zadawane pytania
Zebraliśmy odpowiedzi na pytania, które najczęściej pojawiają się przy korzystaniu z kalkulatora silni.
Co to jest silnia?
Silnia liczby całkowitej nieujemnej [latex]n[/latex] to iloczyn wszystkich liczb naturalnych od 1 do [latex]n[/latex]. Zapisujemy ją symbolem [latex]n![/latex] i liczymy wzorem [latex]n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n[/latex]. Dla [latex]4![/latex] wynik to [latex]1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24[/latex], dla [latex]5![/latex] to [latex]120[/latex], a dla [latex]10![/latex] to [latex]3,628,800[/latex].
Jak obliczyć silnię?
Najprościej w kalkulatorze silni – wpisujesz nieujemną liczbę całkowitą [latex]n[/latex], a narzędzie liczy iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do [latex]n[/latex]. Ręcznie obliczasz silnię, mnożąc kolejne liczby krok po kroku, albo korzystasz z reguły rekurencyjnej [latex]n! = n \cdot (n-1)![/latex] – jeśli znasz silnię z liczby o jeden mniejszej, wystarczy pomnożyć ją przez [latex]n[/latex].
Ile wynosi [latex]0![/latex]?
Z definicji [latex]0! = 1[/latex]. Wartość ta wynika z reguły rekurencyjnej silni, z konwencji iloczynu pustego oraz z interpretacji kombinatorycznej – zbiór pusty można ustawić w rzędzie dokładnie na jeden sposób.
Ile wynosi [latex]1![/latex]?
[latex]1! = 1[/latex]. To naturalna konsekwencja wzoru – iloczyn liczb od 1 do 1 zawiera tylko jeden czynnik, czyli 1.
Czy silnia istnieje dla liczb ujemnych?
Klasyczna silnia jest zdefiniowana wyłącznie dla nieujemnych liczb całkowitych. Dla liczb ujemnych i wartości niecałkowitych klasyczna silnia nie istnieje – rozszerzenie na liczby rzeczywiste i zespolone realizuje funkcja gamma, która jednak nie jest tym samym co silnia. Kalkulator silni obsługuje wyłącznie nieujemne liczby całkowite od 0 do 500.
Dlaczego silnia rośnie tak szybko?
Każda kolejna silnia jest [latex]n[/latex] razy większa od poprzedniej, więc wzrost przyspiesza wykładniczo. Dla [latex]n = 10[/latex] mnożymy przez 10, dla [latex]n = 100[/latex] mnożymy przez 100, dla [latex]n = 500[/latex] mnożymy przez 500. Silnia rośnie szybciej niż jakakolwiek funkcja wykładnicza [latex]a^n[/latex] – to potwierdza wzór Stirlinga: [latex]n! \approx \sqrt{2\pi n} \cdot (n/e)^n[/latex].
Do czego służy silnia?
Silnia jest podstawowym narzędziem kombinatoryki – liczy permutacje, wariacje i kombinacje. Pojawia się w rachunku prawdopodobieństwa, w rozwinięciach Taylora funkcji ([latex]e^x[/latex], [latex]\sin(x)[/latex], [latex]\cos(x)[/latex]), w analizie algorytmów (problem komiwojażera, sortowanie permutacyjne) oraz w fizyce statystycznej.
Jaka jest różnica między wynikiem dokładnym a przybliżonym?
Wynik dokładny to pełna wartość silni z wszystkimi cyframi – na przykład [latex]20! = 2,432,902,008,176,640,000[/latex]. Wynik przybliżony to ten sam wynik zapisany w notacji wykładniczej, na przykład [latex]\approx 2{,}4329 \cdot 10^{18}[/latex] – czytelnie pokazuje rząd wielkości i pierwsze cyfry znaczące. Kalkulator pokazuje oba zapisy: przybliżenie na karcie głównej (dla wyników dłuższych niż 18 cyfr) oraz pełny wynik dokładny w polu poniżej.
Ile cyfr ma [latex]100![/latex]?
[latex]100![/latex] ma dokładnie 158 cyfr w zapisie dziesiętnym. Pełna wartość zaczyna się od 9332… i kończy 24 zerami – to liczba rzędu [latex]9{,}33 \cdot 10^{157}[/latex]. Kalkulator pokazuje zarówno czytelne przybliżenie, jak i pełny wynik dokładny.
Jaki jest największy [latex]n[/latex] obsługiwany przez kalkulator?
Kalkulator liczy silnię od 0 do 500. Górna granica została ustawiona na 500, ponieważ [latex]500![/latex] ma już 1 135 cyfr i większe wartości przestają być praktycznie czytelne. Jeśli potrzebujesz większej silni, możesz skorzystać z reguły rekurencyjnej [latex]n! = n \cdot (n-1)![/latex] – wystarczy pomnożyć [latex]500![/latex] przez kolejne liczby.
Czy silnia ułamka istnieje?
Klasyczna silnia ułamka (na przykład [latex]2{,}5![/latex]) nie istnieje. Rozszerzenie pojęcia silni na liczby rzeczywiste i zespolone realizuje funkcja gamma [latex]\Gamma(n+1) = n![/latex] dla nieujemnych liczb całkowitych [latex]n[/latex]. Funkcja gamma daje wartości takie jak [latex]\Gamma(0{,}5) = \sqrt{\pi}[/latex], ale to wykracza poza zakres niniejszego kalkulatora.
Data aktualizacji:
