Kalkulator nierówności

Kalkulator nierówności to narzędzie, które rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą w postaci [latex]ax+b<c[/latex] krok po kroku. Wpisujesz współczynniki a, b oraz c, wybierasz znak nierówności, a kalkulator wyznacza zbiór rozwiązań, zapisuje go w postaci przedziału i pokazuje, jak ten przedział wygląda na osi liczbowej. Dzięki temu od razu widzisz, jakie liczby spełniają nierówność i w którą stronę osi liczbowej trzeba zaznaczyć rozwiązanie.

Jak działa kalkulator nierówności?

Kalkulator opiera się na klasycznym schemacie rozwiązywania nierówności liniowych. Najpierw zbiera od ciebie współczynniki, potem przekształca nierówność tak, żeby po jednej stronie zostało samo [latex]x[/latex], a po drugiej liczba. W razie potrzeby odwraca znak nierówności i na końcu pokazuje wynik w trzech komplementarnych zapisach.

W kalkulatorze masz do dyspozycji:

• Współczynnik a – liczba stojąca przy [latex]x[/latex]; może być dodatnia, ujemna albo równa zero, a kalkulator obsługuje każdy z tych przypadków;
• Wyraz b – liczba dodawana do [latex]ax[/latex] po lewej stronie nierówności;
• Znak nierówności – wybierasz jeden z czterech: [latex]<[/latex], [latex]\le[/latex], [latex]>[/latex], [latex]\ge[/latex];
• Prawa strona c – liczba, do której porównujemy wyrażenie [latex]ax+b[/latex];
• Automatyczne wyniki – rozwiązanie w postaci nierówności na [latex]x[/latex], zapis przedziałowy, opis zapisu na osi liczbowej oraz rozwiązanie krok po kroku.

Po wpisaniu danych kalkulator od razu pokazuje, jaką nierówność rozwiązujesz, podstawia liczby do wzoru i wyznacza wynik. W panelu Pokaż wzór zobaczysz dodatkowo formalne podstawienie z konkretnymi liczbami z twojego zadania.

Co oznaczają współczynniki a, b i c?

Każda nierówność liniowa, którą obsługuje kalkulator, ma postać [latex]ax+b<c[/latex] albo analogiczną z innym znakiem. Trzy liczby, które ją opisują, to właśnie a, b oraz c. Warto wiedzieć, co każdy ze współczynników oznacza, bo od tego zależy poprawne wpisanie danych.

Współczynnik a stoi przy [latex]x[/latex]. Jego znak decyduje o tym, czy przy rozwiązywaniu trzeba będzie odwrócić znak nierówności. Dla [latex]a>0[/latex] znak zostaje bez zmian, dla [latex]a<0[/latex] zmieniamy go na przeciwny. Dla [latex]a=0[/latex] z nierówności znika niewiadoma i zostaje porównanie dwóch liczb.

Wyraz b to liczba dodawana do [latex]ax[/latex]. Może być dodatnia, ujemna albo zero. W zapisie [latex]2x-5<8[/latex] mamy [latex]b=-5[/latex], a w zapisie [latex]3x<12[/latex] współczynnik b wynosi zero.

Prawa strona c to liczba, z którą porównujemy lewą stronę nierówności. Geometrycznie odpowiada za poziom, na którym ustawiamy granicę dla wyrażenia [latex]ax+b[/latex].

Wpisuj współczynniki dokładnie tak, jak występują w nierówności, razem ze znakami. Jeżeli nierówność ma postać [latex]-3x+4\ge 1[/latex], to [latex]a=-3[/latex], [latex]b=4[/latex], [latex]c=1[/latex] i znak [latex]\ge[/latex]. Pomylenie znaku przy współczynniku to jeden z najczęstszych błędów, o czym piszemy w sekcji o typowych pułapkach.

Jak rozwiązać nierówność liniową krok po kroku?

Rozwiązywanie nierówności liniowych przypomina rozwiązywanie równań, ale dochodzi jedna dodatkowa zasada związana ze znakiem. Pełny schemat składa się z czterech kroków.

Krok 1. Przenosimy wyraz wolny na drugą stronę. Z lewej strony zostawiamy tylko składnik z [latex]x[/latex]. Z nierówności [latex]ax+b<c[/latex] przechodzimy do [latex]ax<c-b[/latex]. Liczbę przenosimy ze zmianą znaku, dokładnie tak samo jak w równaniach.

Krok 2. Dzielimy obie strony przez współczynnik a. Chcemy zostawić samo [latex]x[/latex], więc obie strony dzielimy przez liczbę stojącą przy [latex]x[/latex]. Z [latex]ax<c-b[/latex] otrzymujemy [latex]x<\frac{c-b}{a}[/latex].

Krok 3. Sprawdzamy znak współczynnika a. Jeżeli a jest dodatnie, znak nierówności zostaje bez zmian. Jeżeli a jest ujemne, znak nierówności odwracamy na przeciwny. To kluczowa zasada, która odróżnia nierówności od równań.

Krok 4. Zapisujemy wynik. Wynik zapisujemy w trzech równoważnych formach: jako nierówność na [latex]x[/latex], jako przedział oraz słownie jako zapis na osi liczbowej.

Kalkulator wykonuje wszystkie cztery kroki automatycznie i pokazuje je w sekcji Rozwiązanie krok po kroku, więc masz pełny wgląd w to, co dzieje się z nierównością.

Kiedy odwracamy znak nierówności?

To pytanie, na którym potyka się najwięcej osób uczących się nierówności. Zasada jest jednak prosta i ma jeden konkretny powód.

Znak nierówności odwracamy zawsze wtedy, gdy obie strony mnożymy lub dzielimy przez liczbę ujemną. Dotyczy to każdej liczby ujemnej, niezależnie od tego, czy jest całkowita, czy ułamkowa.

Łatwo to uzasadnić na prostym przykładzie liczbowym. Wiemy, że [latex]2<5[/latex]. Pomnóżmy obie strony przez [latex]-1[/latex]. Po lewej stronie dostajemy [latex]-2[/latex], po prawej [latex]-5[/latex]. Czy nadal zachodzi [latex]-2<-5[/latex]? Nie. Na osi liczbowej [latex]-2[/latex] leży po prawej stronie od [latex]-5[/latex], więc poprawna nierówność to [latex]-2>-5[/latex]. Mnożenie przez liczbę ujemną odwróciło relację między liczbami, dlatego musimy odwrócić również znak nierówności.

Tego nie robimy w trzech typowych sytuacjach:

• przy dodawaniu lub odejmowaniu po obu stronach, niezależnie od znaku składnika;
• przy mnożeniu lub dzieleniu obu stron przez liczbę dodatnią;
• przy przenoszeniu wyrazu z jednej strony na drugą (to formalnie tylko dodawanie lub odejmowanie).

W kalkulatorze nie musisz pamiętać o tej zasadzie ręcznie. Jeżeli wpiszesz [latex]a<0[/latex], narzędzie samo wykryje, że dzielenie obu stron przez liczbę ujemną wymaga zmiany znaku, i wyraźnie zaznaczy to w trzecim kroku rozwiązania.

Nierówność liniowa krok po kroku – przykłady

Pokazujemy teraz pełny tok rozwiązania na kilku konkretnych nierównościach. Każdy przykład możesz przeliczyć w kalkulatorze i porównać z naszym zapisem.

Przykład 1: dodatni współczynnik a, znak <

Rozwiążmy nierówność [latex]2x-5<8[/latex]. Tutaj [latex]a=2[/latex], [latex]b=-5[/latex], [latex]c=8[/latex] i znak [latex]<[/latex].

Krok 1. Przenosimy wyraz wolny na prawą stronę:

[latex display=1]2x<8-(-5)[/latex]

[latex display=1]2x<13[/latex]

Krok 2. Dzielimy obie strony przez [latex]2[/latex]:

[latex display=1]x<\frac{13}{2}[/latex]

Krok 3. Współczynnik a jest dodatni, więc znak nierówności zostaje bez zmian.

Wynik: [latex]x<6{,}5[/latex]. Zapis przedziałowy: [latex]-\infty;6{,}5[/latex]. Na osi liczbowej zaznaczamy punkt pusty w [latex]6{,}5[/latex] i kierujemy strzałkę w lewo.

Przykład 2: ujemny współczynnik a, znak >

Rozwiążmy nierówność [latex]-3x+4>1[/latex]. Tutaj [latex]a=-3[/latex], [latex]b=4[/latex], [latex]c=1[/latex] i znak [latex]>[/latex].

Krok 1. Przenosimy wyraz wolny na prawą stronę:

[latex display=1]-3x>1-4[/latex]

[latex display=1]-3x>-3[/latex]

Krok 2. Dzielimy obie strony przez [latex]-3[/latex].

Krok 3. Dzielimy przez liczbę ujemną, więc odwracamy znak nierówności z [latex]>[/latex] na [latex]<[/latex]:

[latex display=1]x<\frac{-3}{-3}[/latex]

[latex display=1]x<1[/latex]

Wynik: [latex]x<1[/latex]. Zapis przedziałowy: [latex]-\infty;1[/latex]. Na osi liczbowej zaznaczamy punkt pusty w [latex]1[/latex] i kierujemy strzałkę w lewo.

Przykład 3: znak ≤ z dodatnim a

Rozwiążmy nierówność [latex]4x+2\le 14[/latex]. Tutaj [latex]a=4[/latex], [latex]b=2[/latex], [latex]c=14[/latex] i znak [latex]\le[/latex].

Krok 1. Przenosimy wyraz wolny:

[latex display=1]4x\le 14-2[/latex]

[latex display=1]4x\le 12[/latex]

Krok 2. Dzielimy przez [latex]4[/latex]:

[latex display=1]x\le 3[/latex]

Krok 3. Współczynnik a jest dodatni, znak zostaje bez zmian.

Wynik: [latex]x\le 3[/latex]. Zapis przedziałowy: [latex](-\infty;3][/latex]. Na osi liczbowej zaznaczamy punkt pełny w [latex]3[/latex] i kierujemy strzałkę w lewo.

Przykład 4: znak ≥ z ujemnym a

Rozwiążmy nierówność [latex]-2x-1\ge 5[/latex]. Tutaj [latex]a=-2[/latex], [latex]b=-1[/latex], [latex]c=5[/latex] i znak [latex]\ge[/latex].

Krok 1. Przenosimy wyraz wolny:

[latex display=1]-2x\ge 5-(-1)[/latex]

[latex display=1]-2x\ge 6[/latex]

Krok 2. Dzielimy obie strony przez [latex]-2[/latex].

Krok 3. Dzielimy przez liczbę ujemną, więc odwracamy znak [latex]\ge[/latex] na [latex]\le[/latex]:

[latex display=1]x\le \frac{6}{-2}[/latex]

[latex display=1]x\le -3[/latex]

Wynik: [latex]x\le -3[/latex]. Zapis przedziałowy: [latex](-\infty;-3][/latex]. Na osi liczbowej zaznaczamy punkt pełny w [latex]-3[/latex] i kierujemy strzałkę w lewo.

Przykład 5: przypadek szczególny a = 0, rozwiązaniem są wszystkie liczby rzeczywiste

Rozwiążmy nierówność [latex]0\cdot x+3<7[/latex]. Tutaj [latex]a=0[/latex], [latex]b=3[/latex], [latex]c=7[/latex] i znak [latex]<[/latex].

Po podstawieniu zero przy [latex]x[/latex] cała lewa strona z niewiadomą znika. Zostaje porównanie dwóch liczb: [latex]3<7[/latex]. To zdanie jest prawdziwe i nie zależy od tego, jakie [latex]x[/latex] podstawimy.

Wynik: rozwiązaniem są wszystkie liczby rzeczywiste. Zapis przedziałowy: [latex]-\infty;\infty[/latex]. Na osi liczbowej zaznaczamy całą oś.

Przykład 6: przypadek szczególny a = 0, brak rozwiązań

Rozwiążmy nierówność [latex]0\cdot x+5<2[/latex]. Tutaj [latex]a=0[/latex], [latex]b=5[/latex], [latex]c=2[/latex] i znak [latex]<[/latex].

Po podstawieniu zero przy [latex]x[/latex] zostaje porównanie [latex]5<2[/latex]. To zdanie jest fałszywe i żadne [latex]x[/latex] tego nie zmieni.

Wynik: nierówność nie ma rozwiązań. Zapis: [latex]\emptyset[/latex]. Na osi liczbowej nie zaznaczamy żadnego punktu.

Kalkulator radzi sobie z każdym z tych przypadków automatycznie. Jeżeli wpiszesz [latex]a=0[/latex], narzędzie sprawdzi, czy zdanie liczbowe jest prawdziwe, i odpowiednio dobierze komunikat.

Nierówność ostra i nieostra – na czym polega różnica?

Cztery znaki nierówności dzielą się na dwie pary. Jedna para to nierówności ostre, druga to nierówności nieostre. Różnica między nimi polega na tym, czy do zbioru rozwiązań zaliczamy punkt graniczny, czy nie.

Nierówność ostra używa znaków [latex]<[/latex] albo [latex]>[/latex]. Sama liczba graniczna nie należy do rozwiązania. Na osi liczbowej oznaczamy ją punktem pustym, czyli niewypełnionym kółkiem.

Nierówność nieostra używa znaków [latex]\le[/latex] albo [latex]\ge[/latex]. Liczba graniczna należy do rozwiązania. Na osi liczbowej oznaczamy ją punktem pełnym, czyli wypełnionym kółkiem.

W zapisie przedziałowym ta sama różnica pokazuje się w nawiasach. Nawias okrągły [latex]([/latex] lub [latex])[/latex] oznacza, że końca nie zaliczamy do przedziału, a nawias kwadratowy [latex][[/latex] lub [latex]][/latex] oznacza, że koniec do przedziału należy. Symboli [latex]\infty[/latex] i [latex]-\infty[/latex] nigdy nie domykamy nawiasem kwadratowym, bo nieskończoność nie jest liczbą.

Praktycznie wygląda to tak. Nierówność [latex]x<4[/latex] mówi, że [latex]x[/latex] może być dowolną liczbą mniejszą od 4, ale samo 4 nie spełnia warunku. Zapis przedziałowy to [latex]-\infty;4[/latex]. Nierówność [latex]x\le 4[/latex] dopuszcza również wartość 4, dlatego zapis to [latex](-\infty;4][/latex].

Jak zapisać rozwiązanie nierówności w przedziale?

Zapis przedziałowy to skrócona forma rozwiązania, którą stosujemy w matematyce szkolnej i wyższej. Każdą nierówność z jedną niewiadomą można zapisać jako jeden z czterech typowych przedziałów. Zebraliśmy je w tabeli, do której można szybko zajrzeć przy rozwiązywaniu zadań.

Wynik nierówności	Zapis przedziałowy	Zapis na osi liczbowej
[latex]x<a[/latex]	[latex]-\infty;a[/latex]	punkt pusty, zaznaczenie w lewo
[latex]x\le a[/latex]	[latex](-\infty;a][/latex]	punkt pełny, zaznaczenie w lewo
[latex]x>a[/latex]	[latex]a;\infty[/latex]	punkt pusty, zaznaczenie w prawo
[latex]x\ge a[/latex]	[latex][a;\infty)[/latex]	punkt pełny, zaznaczenie w prawo

Łatwo to zapamiętać po dwóch prostych regułach. Po pierwsze, kierunek strzałki na osi zależy od tego, czy [latex]x[/latex] ma być mniejsze, czy większe od liczby granicznej. Mniejsze – strzałka w lewo, większe – w prawo. Po drugie, typ punktu zależy od znaku nierówności. Znaki [latex]<[/latex] i [latex]>[/latex] dają punkt pusty, znaki [latex]\le[/latex] i [latex]\ge[/latex] dają punkt pełny.

Kalkulator dla każdego rozwiązania podaje od razu i nierówność na [latex]x[/latex], i odpowiadający jej przedział, i opis zapisu na osi liczbowej. Wystarczy spojrzeć na trzy karty wyniku, żeby zobaczyć to samo rozwiązanie w trzech różnych zapisach.

Jak odczytać wynik kalkulatora nierówności?

Po wpisaniu współczynników kalkulator pokazuje kilka pól: nierówność wejściową, rozwiązanie, przedział, opis zapisu na osi oraz krótką notkę. Warto wiedzieć, co dokładnie znaczą poszczególne komunikaty.

• Rozwiązanie – klasyczna nierówność typu [latex]x<6{,}5[/latex] albo [latex]x\ge -3[/latex], która mówi, jakie liczby spełniają warunek.
• Przedział – ten sam zbiór zapisany w postaci przedziałowej, np. [latex]-\infty;6{,}5[/latex] albo [latex][-3;\infty)[/latex].
• Zapis na osi liczbowej – słowny opis tego, jak zaznaczyć rozwiązanie na osi: typ punktu (pusty lub pełny), miejsce punktu i kierunek strzałki.
• Każda liczba rzeczywista – komunikat dla przypadku [latex]a=0[/latex], gdy zdanie liczbowe jest prawdziwe niezależnie od [latex]x[/latex]. Przedział wynosi wtedy [latex]-\infty;\infty;[/latex].
• Brak rozwiązań – komunikat dla przypadku [latex]a=0[/latex], gdy zdanie liczbowe jest fałszywe. Zbiór rozwiązań to zbiór pusty [latex]\emptyset[/latex].
• Rozwiązanie krok po kroku – cztery uporządkowane kroki, w których kalkulator pokazuje, co kolejno zrobił z nierównością.

Jeżeli chcesz sprawdzić, czy konkretna liczba spełnia nierówność, wystarczy zobaczyć, czy mieści się w przedziale rozwiązania. Liczba 4 należy do [latex]-\infty;6{,}5[/latex], więc spełnia nierówność [latex]x<6{,}5[/latex]. Liczba 7 do tego przedziału nie należy, więc warunku nie spełnia.

Typowe błędy przy rozwiązywaniu nierówności

Z naszych obserwacji wynika, że uczniowie powtarzają kilka tych samych pomyłek. Większość z nich nie wynika z braku wiedzy, tylko z pośpiechu albo z nieuwagi. Warto je znać, żeby świadomie unikać.

• Nieodwrócenie znaku przy dzieleniu przez liczbę ujemną. To najczęstszy błąd przy rozwiązywaniu nierówności liniowych. Po podzieleniu przez liczbę ujemną znak [latex]<[/latex] musi zmienić się na [latex]>[/latex], a [latex]\le[/latex] na [latex]\ge[/latex]. Pominięcie tego kroku prowadzi do błędnego wyniku z odwrotnym zwrotem rozwiązania.
• Błędne przenoszenie wyrazu wolnego. Przy przenoszeniu liczby z jednej strony na drugą trzeba zmienić jej znak. Z [latex]2x+5<11[/latex] przechodzimy do [latex]2x<11-5[/latex], a nie do [latex]2x<11+5[/latex]. Pominięcie zmiany znaku to częsta pomyłka rachunkowa.
• Mylenie punktu pustego z pełnym. Znak [latex]<[/latex] zawsze daje punkt pusty, a [latex]\le[/latex] daje punkt pełny. Zamiana tych dwóch typów punktów zmienia treść rozwiązania, bo z przedziału usuwamy albo dodajemy jego krańcową wartość.
• Niepoprawny zapis przedziału. Przy nieskończoności zawsze używamy nawiasu okrągłego, czyli piszemy [latex]-\infty;3[/latex], a nie [latex][-\infty;3)[/latex]. Z drugiej strony nawiasy okrągłe i kwadratowe muszą być zgodne ze znakiem nierówności: [latex]<[/latex] i [latex]>[/latex] dają nawias okrągły, [latex]\le[/latex] i [latex]\ge[/latex] dają nawias kwadratowy.
• Pomijanie przypadku a = 0. Gdy współczynnik przy [latex]x[/latex] jest równy zero, nierówność liniowa zmienia charakter i sprowadza się do porównania dwóch liczb. Trzeba wtedy ocenić, czy zdanie liczbowe jest prawdziwe, czy fałszywe, a nie próbować dzielić przez zero.
• Zła kolejność działań w liczniku. Po przeniesieniu wyrazu wolnego liczymy [latex]c-b[/latex], a nie [latex]b-c[/latex]. Łatwo to pomylić, szczególnie gdy obie liczby są ujemne.
• Niepoprawny zwrot strzałki na osi liczbowej. Strzałka idzie w stronę liczb spełniających nierówność. Dla [latex]x<3[/latex] kierujemy ją w lewo, bo szukamy liczb mniejszych od 3. Dla [latex]x>3[/latex] kierujemy ją w prawo, bo szukamy liczb większych od 3.

Dokładamy wszelkich starań, żeby kalkulator wychwytywał najczęstsze błędy danych wejściowych i pokazywał czytelny komunikat. Dzięki temu nawet jeśli pomylisz się przy wpisywaniu, masz szansę szybko zauważyć, gdzie tkwi problem.

Kiedy przydaje się kalkulator nierówności?

Kalkulator nierówności sprawdza się wszędzie tam, gdzie pojawia się warunek w postaci [latex]ax+b<c[/latex] albo jego równoważna wersja z innym znakiem.

• Matematyka szkolna. Zadania z nierówności liniowych pojawiają się w szkole podstawowej, ponadpodstawowej i na maturze. Kalkulator pokazuje pełen tok rozwiązania, więc nadaje się i do nauki, i do weryfikacji.
• Przygotowanie do sprawdzianu. Możesz wpisać kilkanaście nierówności pod rząd, zobaczyć rozwiązania krok po kroku i zapamiętać schemat. Im więcej przykładów świadomie przeliczysz, tym szybciej liczysz potem na klasówce.
• Zadania tekstowe. Sformułowania typu „wynik testu musi być większy od 60 punktów” albo „koszty nie mogą przekroczyć budżetu” naturalnie prowadzą do nierówności liniowych. Kalkulator pomaga sprawdzić, czy postawione warunki są spełnione.
• Funkcja liniowa. W badaniu znaku funkcji [latex]f(x)=ax+b[/latex] pytamy, dla jakich [latex]x[/latex] wartości funkcji są dodatnie albo ujemne. To dokładnie ten sam problem, co rozwiązanie nierówności [latex]ax+b<0[/latex] albo [latex]ax+b>0[/latex].
• Zadania z dziedziną. Wyznaczanie dziedziny funkcji wymiernej lub pierwiastkowej często sprowadza się do nierówności liniowej. Kalkulator zwalnia z części obliczeń i pozwala skupić się na samej dziedzinie.
• Szybkie sprawdzanie własnych obliczeń. Czasem po prostu chcesz mieć pewność, że na kartce policzyłeś dobrze. Wpiszesz a, b, c i znak, a w sekundę masz wynik z pełnym rozpisaniem kroków.

Jeżeli pracujesz z równaniami, a nie nierównościami, sięgnij po nasz kalkulator równania liniowego albo kalkulator równań kwadratowych. Z kolei do podstawowych operacji na ułamkach, które często pojawiają się w wyniku nierówności, przyda się kalkulator skracania ułamków.

Najczęściej zadawane pytania

Zebraliśmy odpowiedzi na pytania, które najczęściej pojawiają się podczas rozwiązywania nierówności liniowych i pracy z naszym kalkulatorem.

Jak działa kalkulator nierówności?

Kalkulator przyjmuje współczynniki a, b oraz c, a także wybrany znak nierówności. Następnie automatycznie przenosi wyraz wolny na prawą stronę, dzieli obie strony przez współczynnik przy [latex]x[/latex] i w razie potrzeby odwraca znak nierówności. Wynik pokazuje w trzech zapisach: jako nierówność na [latex]x[/latex], jako przedział i jako opis zapisu na osi liczbowej.

Kiedy odwraca się znak nierówności?

Znak nierówności odwracamy wtedy, gdy obie strony mnożymy lub dzielimy przez liczbę ujemną. W praktyce najczęściej dzieje się to w ostatnim kroku, kiedy dzielimy przez ujemny współczynnik przy [latex]x[/latex]. Z [latex]<[/latex] robi się [latex]>[/latex], z [latex]\le[/latex] robi się [latex]\ge[/latex] i odwrotnie. Przy dodawaniu, odejmowaniu oraz mnożeniu i dzieleniu przez liczbę dodatnią znak zostaje bez zmian.

Jaka jest różnica między znakami < i ≤?

Znak [latex]<[/latex] to nierówność ostra i nie zalicza liczby granicznej do rozwiązania. Znak [latex]\le[/latex] to nierówność nieostra i tę liczbę zalicza. W zapisie przedziałowym ostra nierówność daje nawias okrągły, na przykład [latex]-\infty;3[/latex], a nieostra daje nawias kwadratowy, na przykład [latex](-\infty;3][/latex]. Na osi liczbowej różnica widoczna jest jako punkt pusty albo pełny.

Co oznacza punkt pusty i punkt pełny na osi liczbowej?

Punkt pusty to niewypełnione kółko, które stawiamy w miejscu liczby granicznej dla nierówności ostrych ze znakami [latex]<[/latex] albo [latex]>[/latex]. Sygnalizuje, że ta liczba nie należy do rozwiązania. Punkt pełny to wypełnione kółko, które stawiamy dla nierówności nieostrych ze znakami [latex]\le[/latex] albo [latex]\ge[/latex]. Sygnalizuje, że liczba graniczna należy do rozwiązania.

Co zrobić, gdy współczynnik a wynosi zero?

Jeżeli a wynosi zero, nierówność nie jest już zależna od [latex]x[/latex] i sprowadza się do porównania dwóch liczb. Trzeba sprawdzić, czy zdanie liczbowe [latex]b\square c[/latex] jest prawdziwe, gdzie [latex]\square[/latex] to wybrany znak. Jeżeli jest prawdziwe, rozwiązaniem są wszystkie liczby rzeczywiste. Jeżeli jest fałszywe, nierówność nie ma rozwiązań. Kalkulator rozróżnia oba te przypadki automatycznie.

Czy kalkulator radzi sobie z liczbami ujemnymi i ułamkowymi?

Tak, kalkulator obsługuje liczby dodatnie, ujemne oraz wartości dziesiętne. W polu współczynnika możesz wpisać na przykład [latex]-2{,}5[/latex] albo [latex]0{,}75[/latex], a obliczenia pójdą tak samo jak dla liczb całkowitych. Dokładamy wszelkich starań, żeby narzędzie radziło sobie z typowymi przypadkami szkolnymi i maturalnymi.

Jak zapisać rozwiązanie nierówności w postaci przedziału?

Wystarczy spojrzeć na znak nierówności i wartość graniczną. Dla [latex]x<a[/latex] przedział to [latex]-\infty;a[/latex], dla [latex]x\le a[/latex] to [latex](-\infty;a][/latex], dla [latex]x>a[/latex] to [latex]a;\infty[/latex], a dla [latex]x\ge a[/latex] to [latex][a;\infty)[/latex]. Kalkulator robi to za ciebie i pokazuje zapis przedziałowy w osobnej karcie wyniku.

Czy kalkulator zapisuje wpisane dane?

Nie. Kalkulator działa w przeglądarce i nie wysyła ani nie zapisuje żadnych wartości. Po odświeżeniu strony pola wracają do stanu wyjściowego, a korzystanie z narzędzia jest w pełni anonimowe.

Data aktualizacji: 19 maja 2026